Wenn Du die Aufforderung von der ARGE zum Umzug bekommen hast, dann müssen die auch die Kosten tragen. Schau Dich hier im Forum mal nach "Umzugskosten" um, dann beantragst Du formlos alles was nötig ist und forderst umgehend die Erstellung eines Rechtmittelfähigen Bescheides an. Sollte abgelehnt werden, dann umgehend ab damit zum nächsten Sozialgericht und klagen!
Ebenso gehören evtl. anfallende doppelte Mietzahlungen dazu, Erstausstattung (alles was Du brauchst bzw. das für ein soziokulturelles Leben notwendig ist, aber in der alten Wohnung nicht vorhanden war.), Kautionsübernahme usw. Wenn sie Dich schon zum Umzug nötigen, dann sollen sie gefälligst auch zahlen!
*Edit*
Ich hoffe doch Du hast den Mietvertrag nicht vor der ersten Vorsprache bei der ARGE unterschrieben, denn dann wirst Du Probleme kriegen das durch zu bekommen.
Gruß
Markus